Αποδεικτική Μέθοδος ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ  ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ  Μ1  ΤΟΥ  Δ.Ε.Π.

Στόχος του μαθήματος

Το μάθημα Μ1, προαπαιτούμενο όλων των μαθημάτων μαθηματικών του Δ.Ε.Π., εξηγεί τις θεμελιώδεις αρχές γύρω από την έννοια της απόδειξης. Μια απόδειξη είναι η διαδικασία μέσω της οποίας, ξεκινώντας από κάποιες υποθέσεις, καταλήγουμε σε συμπέρασμα ή συμπεράσματα. Έτσι αποκτούμε απόλυτη βεβαιότητα για το συμπέρασμα, δεδομένου οτι δεχόμαστε επίσης σαν απόλυτα σωστές τις υποθέσεις, τη μέθοδο της απόδειξης, και τους κανόνες της “κλασικής λογικής” που θα εξεταστούν στον παρόν.

Το μάθημα αυτό ενδιαφέρει όχι μόνο τους μαθηματικούς, αλλά και όλους όσους τους απασχολεί γενικά η ορθότητα των συλλογισμών (δικών-τους ή άλλων). Παρόλο που είναι προαπαιτούμενο μαθηματικών, οι παρούσες σημειώσεις είναι γραμμένες με τέτοιον τρόπο ώστε να γίνονται κατανοητές από οποιονδήποτε διαθέτει γενική παιδεία, και διάθεση να καταλάβει έννοιες που δεν απαιτούν ιδιαίτερη ευφυΐα, αλλά μόνο θέληση για μάθηση, και επιμονή στην εκτέλεση των ασκήσεων που περιλαμβάνει το μάθημα αυτό.

Το θεμελιώδες — και μόνο απαραίτητο — βήμα απόδειξης

Σπάνια ένα μάθημα μπορεί να ξεκινήσει με το πιο σημαντικό σημείο-του, χωρίς άλλη εισαγωγή. Αυτό όμως πρόκειται να κάνουμε αμέσως τώρα, όπου θα γνωρίσουμε το πιο θεμελιώδες “αποδεικτικό βήμα”, δηλαδή ένα συμπερασματικό κανόνα μέσω του οποίου δημιουργούμε αποδείξεις. Ο κανόνας αυτός, που ονομάζεται Modus Ponens (Μόντους Πόνενς) συμβαίνει μάλιστα να είναι και ο μόνος απαραίτητος συμπερασματικός κανόνας· δηλαδή κάθε απόδειξη, οσοδήποτε μακροσκελής κι αν είναι, μπορεί να αναλυθεί σε μια ακολουθία βημάτων όπου το κάθε βήμα είναι εφαρμογή του κανόνα Modus Ponens.^(*) Με τον κανόνα αυτόν θα εξοικειωθούμε αρχικά μέσω ενός παραδείγματος.

Ας θεωρήσουμε τον εξής συλλογισμό:

Στην αποδεικτική μέθοδο, τις υποθέσεις τις λέμε αξιώματα. Το συμπέρασμα το λέμε θεώρημα. Το σύνολο των δύο αξιωμάτων με το θεώρημα το λέμε θεωρία. Ο παραπάνω συλλογισμός είναι ένα παράδειγμα του συμπερασματικού κανόνα Modus Ponens. Παρόλο που τον ονομάσαμε “συλλογισμό”, αποτελεί στην πραγματικότητα μια απόδειξη του θεωρήματος “το Ελλαδιστάν έχει πρωτεύουσα” βάσει των αξιωμάτων “κάθε κράτος έχει πρωτεύουσα” και “το Ελλαδιστάν είναι κράτος”.

Ας γράψουμε τώρα το παραπάνω παράδειγμα με λίγο πιο “λακωνικό” τρόπο:

Ουσιαστικά γράψαμε το ίδιο πράγμα. Το αξίωμα (ή υπόθεση) Α1 λέει:

“αν το x είναι κράτος, τότε το x έχει πρωτεύουσα”

το οποίο είναι ένας εναλλακτικός τρόπος για να πούμε “κάθε κράτος έχει πρωτεύουσα”. Όμως την ελληνική πρόταση “αν το x είναι κράτος, τότε το x έχει πρωτεύουσα” τη γράψαμε “κωδικοποιημένη” σαν λογικό τύπο, ως εξής:

• Το σύμβολο “→” το διαβάζουμε “συνεπάγεται”. Εναλλακτικά, ολόκληρη την πρόταση “Υ → Σ” μπορούμε να τη διαβάσουμε και έτσι: “αν Υ τότε Σ”. Η πρόταση αυτής της μορφής λέγεται συνεπαγωγή. Στο παράδειγμά μας, το Υ είναι: “το x είναι κράτος” και το Σ είναι “το x έχει πρωτεύουσα”.

• Τη φράση “είναι κράτος” το μετατρέψαμε σε μία λέξη: “κράτος”, το οποίο το λέμε κατηγόρημα.

• Στο κατηγόρημα “κράτος” προσθέσαμε το x σε παρένθεση. Το x λέγεται μεταβλητή (γιατί μπορεί να πάρει διάφορες τιμές, όπως θα δούμε), που εδώ είναι παράμετρος του κατηγορήματος “κράτος”, και το κλείνουμε σε παρενθέσεις.

• Αποφασίσαμε λοιπόν οτι το κατηγόρημα “κράτος” θα έχει μία παράμετρο: την οντότητα για την οποία λέμε οτι είναι κράτος. Στην “κωδικοποίηση” λογικών προτάσεων, αποφασίζουμε όχι μόνο ποια θα είναι τα κατηγορήματα αλλά και πόσες παραμέτρους χρειάζονται για να περιγράψουμε αυτό που σημαίνουν. Αν χρειάζονται περισσότερες παράμετροι, τις χωρίζουμε μεταξύ-τους με κόμματα. Π.χ., για να εκφράσουμε την ιδέα “η x είναι μητέρα του y” μπορούμε να γράψουμε: μητέρα (x, y). Όπως θα δούμε, επαφίεται στη δική-μας κρίση το να ερμηνεύουμε το “μητέρα (x, y)” σαν “η x είναι μητέρα του y”.

• Παρόμοια, τη φράση “έχει πρωτεύουσα” τη μετατρέψαμε στο κατηγόρημα “έχει_πρωτεύουσα”. Ας σημειώσουμε οτι το σύμβολο “_” θα το θεωρούμε κι αυτό γράμμα (ας πούμε κάτι σαν το 25ο γράμμα του αλφαβήτου), και θα το χρησιμοποιούμε απλώς για να κάνουμε τα κατηγορήματα πιο εύκολα στην ανάγνωση (για να μη γράφουμε “εχειπρωτεύουσα”), καθώς δεν μπορούμε να βάλουμε κενά στο όνομα ενός κατηγορήματος. (Το κενό έχει άλλη χρήση: διαχωρίζει τα σύμβολα μεταξύ-τους.)

• Το κατηγόρημα “έχει_πρωτεύουσα” έχει επίσης παράμετρο τη μεταβλητή x.

Στο αξίωμα (ή υπόθεση) Α2 βλέπουμε την εξής σύμβαση:

• Η παράμετρος “Ελλαδιστάν” του κατηγορήματος “κράτος” είναι μία σταθερά. Αντίθετα με τις μεταβλητές, οι σταθερές δεν μπορούν να αλλάξουν τιμές (γιαυτό και λέγονται έτσι). Σταθερές χρησιμοποιούμε για συγκεκριμένα αντικείμενα, π.χ. για αυτό το κράτος που γνωρίζω και που λέγεται Ελλαδιστάν, για το Γιώργο, τη Μαρία, το σκύλο Ρόκι, το συγκεκριμένο φλιτζάνι του καφέ που έχω μπροστά-μου, κλπ. Αντίθετα, οι μεταβλητές χρησιμοποιούνται για αφηρημένα αντικείμενα, που τα περιγράφουμε με λέξεις όπως το “κάποιος”, “κάποια”,  “κάτι”, κλπ., όπως στις προτάσεις: “αν κάτι είναι φλυτζάνι του καφέ”, ή: “αν κάποιος έχει γρίπη”, κλπ.
  Θα χρησιμοποιούμε κεφαλαίο πρώτο γράμμα για τις σταθερές, ενώ μόνο μικρά λατινικά γράμματα για τις μεταβλητές. Πάντως αυτό με τα κεφαλαία και μικρά λατινικά γράμματα είναι μια απλή σύμβαση για να μας βοηθάει να ξεχωρίζουμε τις μεταβλητές από τις σταθερές οπτικά. Κανονικά αυτός που καταστρώνει μια θεωρία (βλ. ορισμό παραπάνω) αποφασίζει ποιες είναι οι μεταβλητές και ποιες οι σταθερές της θεωρίας, χωρίς να παίζει ρόλο το τί είδους γράμματα χρησιμοποιεί.

Τέλος, το θεώρημα (ή συμπέρασμα) Θ είναι το κατηγόρημα “έχει_πρωτεύουσα” με παράμετρο τη σταθερά “Ελλαδιστάν”.

Ο αναγνώστης θα πρέπει τώρα να βεβαιωθεί οτι μπορεί να απαντήσει στην παρακάτω άσκηση προτού προχωρήσει στα επόμενα.

Οι απαντήσεις της άσκησης 1 βρίσκονται εδώ.

Η “αλήθεια” των αξιωμάτων, θεωρημάτων, και απόδειξης

Πόσο βέβαιοι μπορούμε να είμαστε όταν έχουμε μια απόδειξη, και κυρίως για ποια πράγματα μπορούμε να είμαστε βέβαιοι;

Ισχύουν τα εξής:

• Τα αξιώματα τα δεχόμαστε σαν αληθινά, χωρίς να έχουμε καμία εγγύηση από κανέναν οτι όντως είναι αληθινά. Εδώ όμως πρέπει να κάνουμε μια διάκριση μεταξύ συντακτικού και ερμηνείας. Από την άποψη του συντακτικού της λογικής, ο λογικός τύπος “κράτος (Ελλαδιστάν)” είναι απλώς μια σειρά συμβόλων, που θα μπορούσαμε να συμβολίσουμε και σαν “κ(Ε)”, χωρίς να δίνουμε κάποιο “νόημα” (ερμηνεία) στα σύμβολα αυτά. Έτσι, από συντακτική άποψη, δεν σκεφτόμαστε “τί σημαίνει” το “κ” και το “Ε”, αλλά απλώς δεχόμαστε το αξίωμα “κ(Ε)” και κοιτάμε να δούμε τί μπορούμε να συνάγουμε από αυτό μαζί με τα άλλα αξιώματα της θεωρίας. Από την άποψη όμως της ερμηνείας, αν συνδέσουμε το κατηγόρημα “κράτος” (ή “κ”) με την έννοια του κράτους, και τη σταθερά “Ελλαδιστάν” (ή “Ε”) με ένα ορισμένο αντικείμενο, τότε ο τύπος “κράτος (Ελλαδιστάν)” (ή “κ(Ε)”) είναι αλήθεια ή ψέμα ανάλογα με το κατά πόσο το συγκεκριμένο εκείνο αντικείμενο είναι όντως κράτος. Π.χ. αν η ερμηνεία του “Ελλαδιστάν” είναι οτι αναφέρεται σε μια επαρχία του Αφγανιστάν, τότε το αξίωμά μας είναι λάθος στην πραγματικότητα, με τη δοσμένη ερμηνεία περί “Ελλαδιστάν” (γιατί είναι επαρχία, όχι κράτος)· αν όμως το “Ελλαδιστάν” είναι κράτος, τότε το αξίωμα είναι σωστό, “στέκει” στην πραγματικότητα με τη δοσμένη ερμηνεία.

• Τα θεωρήματα είναι αληθινά εφόσον δεχόμαστε τα αξιώματα, και εφόσον κάναμε σωστά την απόδειξη, δηλαδή εφαρμόσαμε σωστά το συμπερασματικό κανόνα Modus Ponens. (Θα δούμε στη συνέχεια τί σημαίνει “σωστή εφαρμογή” του κανόνα αυτού.) Άρα: από συντακτική άποψη, τα θεωρήματα είναι πάντοτε αληθινά, αφού δεχόμαστε τα αξιώματα σαν αληθινά (κατά σύμβαση — αυτό σημαίνει “συντακτικά”). Από ερμηνευτική άποψη όμως, τα θεωρήματα είναι σωστά μόνο όταν είναι σωστές και οι ερμηνείες όλων των αξιωμάτων στα οποία βασίζονται τα θεωρήματα.

Ας δούμε τώρα ένα παράδειγμα όπου η ερμηνεία αξιώματος δεν είναι σωστή. Έστω η εξής θεωρία:

Την παραπάνω θεωρία μπορούμε να την κωδικοποιήσουμε σε λογικούς τύπους ως εξής:

Από συντακτική άποψη, δεν υπάρχει καμία διαφορά με την προηγούμενη θεωρία περί κρατών και πρωτευουσών. Πράγματι, μπορούμε καί τις δύο θεωρίες να τις συνοψίσουμε σε μία, χρησιμοποιώντας απλώς το αρχικό γράμμα του κάθε κατηγορήματος, σταθεράς, και μεταβλητής. Ιδού λοιπόν η ίδια θεωρία με τα σύμβολά της να παριστάνονται με ένα μόνο γράμμα:

Βλέπουμε επομένως οτι, όταν τα σύμβολα στερούνται νοήματος (δηλ. δεν τα ερμηνεύουμε ώστε να αντιστοιχούν στον πραγματικό κόσμο), τότε έχουμε μια απλή εφαρμογή του Modus Ponens, και δεν τίθεται θέμα αλήθειας των αξιωμάτων, αφού τα δεχόμαστε “ως έχουν”. Αν όμως ερμηνεύσουμε το κατηγόρημα “κύτταρο” (ή “κ”) να αντιστοιχεί στην οικεία έννοια του κυττάρου, το κατηγόρημα “έχει πυρήνα” στην επίσης γνωστή έννοια οντότητας που έχει πυρήνα, και τη σταθερά “E_coli” στο γνωστό βακτήριο E. coli (πλήρες όνομα: Escherichia coli), τότε το αξίωμα Α1 είναι λάθος, γιατί δεν έχει κάθε κύτταρο πυρήνα· υπάρχουν και τα βακτήρια, που είναι κύτταρα χωρίς πυρήνα. Πράγματι, το E. coli είναι ένα βακτήριο, και σαν τέτοιο δεν έχει πυρήνα. Ενώ λοιπόν το αξίωμα Α2 είναι σωστό στην ερμηνεία αυτή (κάθε βακτήριο είναι κύτταρο, άρα κύτταρο είναι και το E. coli), εντούτοις το αξίωμα Α1 είναι λάθος στη δοσμένη ερμηνεία του βιολογικού κόσμου. Οπότε και το συναγόμενο θέωρημα δεν μπορούμε να το εμπιστευθούμε: θα μπορούσε να είναι σωστό, θα μπορούσε να είναι και λάθος. Στην προκείμενη περίπτωση όντως είναι λάθος, αλλά αν αντί για το E. coli είχαμε χρησιμοποιήσει σαν σταθερά την Ευγλήνη, που είναι όντως κύτταρο με πυρήνα (όχι βακτήριο), τότε το θεώρημα θα ήταν (κατά τύχη) σωστό. Επομένως όταν κάποιο από τα αξιώματα “δεν στέκει” στην ερμηνεία-του, τότε δεν μπορούμε να εμπιστευθούμε κανένα από τα θεωρήματα της θεωρίας αυτής.

Συνοψίζοντας, το αν από τα αξιώματα “κ(x) → π(x)” και “κ(Ε)” μπορούμε να συμπεράνουμε το θεώρημα “π(Ε)” εξαρτάται ως εξής:

• Από συντακτική άποψη, δεν υπάρχει καμία αμφιβολία· μπορούμε να συμπεράνουμε το “π(Ε)” με απόλυτη βεβαιότητα.

• Από ερμηνευτική άποψη, εξαρτάται απο την ερμηνεία που δίνουμε στα σύμβολα “κ”, “π”, και “Ε” της θεωρίας-μας. Είδαμε οτι αν τα ερμηνεύσουμε σαν: κράτος, έχει πρωτεύουσα, και Ελλαδιστάν, τότε (σε ένα φανταστικό κόσμο όπου το Ελλαδιστάν είναι όντως κράτος) το θεώρημα είναι σωστό (δηλ. το Ελλαδιστάν έχει πρωτεύουσα). Αν όμως τα ερμηνεύσουμε σαν κύτταρο, έχει πυρήνα, και E. coli, τότε το θεώρημα είναι λάθος· και αν αντί για την ερμηνεία του “Ε” σαν E. coli το ερμηνεύσουμε σαν Ευγλήνη, τότε το θεώρημα τυχαίνει να είναι σωστό· αλλά θα μπορούσαμε να το πούμε (χαριτολογώντας) και σωστό κατά λάθος! Άρα με λάθος αξίωμα δεν μπορούμε να συμπεράνουμε το θεώρημα. Το πρόβλημα εδώ μας το δημιουργεί η συγκεκριμένη ερμηνεία του αξιώματος “κ(x) → π(x)”, αφού δεν έχουν όλα τα κύτταρα πυρήνα.

Περισσότερα περί συντακτικού και ερμηνείας

Ας θεωρήσουμε την εξής πρόταση, σε μια υποτιθέμενα άγνωστη γλώσσα:

“λας βάκας κόμεν χιράφας”

Μας πληροφορούν επίσης οτι τα “βάκας” και “χιράφας” είναι ουσιαστικά, το “κόμεν” ρήμα, και το “λας” μια μορφή του οριστικού άρθρου. Επίσης μας κάνουν γνωστό οτι στη γλώσσα αυτή — όπως και στα ελληνικά — τα άρθρα μπαίνουν πριν από τα ουσιαστικά, και η συντακτική δομή της γλώσσας περιλαμβάνει τη δομή: υποκείμενο – ρήμα – αντικείμενο, όπου βέβαια τα “υποκείμενο” και “αντικείμενο” μπορούν να αντικατασταθούν από ουσιαστικά (όπως στα ελληνικά: “ο Γιάννης βγάζει λόγο”, όπου το “ο Γιάννης” είναι το υποκείμενο, και το “λόγο” είναι το αντικείμενο). Μας ρωτούν: είναι σωστή η πρόταση αυτή;

Μη έχοντας άλλη γνώση της γλώσσας παρά μόνο τα περί συντακτικής δομής-της που μόλις εξηγήθηκαν, θα πρέπει να απαντήσουμε: «Ναι, η πρόταση είναι συντακτικά σωστή», αφού οι λέξεις-της ακολουθούν τους συντακτικούς κανόνες της γλώσσας. Θα ήταν λάθος αν έλεγε: “λας βάκας χιράφας κόμεν” (υποκείμενο – αντικείμενο – ρήμα), ή “βάκας λας κόμεν χιράφας” (άρθρο μετά το ουσιαστικό).

Παρόμοια, η λογική πρόταση “κ(x) → π(x)” είναι συντακτικά σωστή, γιατί ακολουθεί τους συντακτικούς κανόνες του λογικού συμβολισμού. Θα ήταν συντακτικά λάθος αν π.χ. ήταν έτσι: “κ(x) π(x) →” (δύο κατηγορήματα στη σειρά χωρίς σύμβολο ανάμεσά τους, και το “συνεπάγεται” — δηλ. το βελάκι “→” — χωρίς δεξιό μέλος)· ή αν ήταν έτσι: “κ(x) → π)x)” (η παρένθεση μετά το “π” κλείνει αντί ν’ ανοίγει)· ή έτσι: “κ(x → π(x)” (η πρώτη παρένθεση δεν κλείνει ποτέ).

Πάμε όμως τώρα πάλι πίσω στην πρόταση “λας βάκας κόμεν χιράφας”. Έστω οτι μας λένε οτι:

• το “λας” σημαίνει “οι”,

• το “βάκας” σημαίνει “αγελάδες”,

• το “κόμεν” σημαίνει “τρώνε”, και

• το “χιράφας” σημαίνει “καμηλοπαρδάλεις”.

Μας ξαναρωτούν τώρα: είναι η πρόταση σωστή;

Έχοντας τώρα μια ερμηνεία, μπορούμε να εξετάσουμε αν η πρόταση είναι “σωστή” από την άποψη του αν “βγάζει νόημα”, δηλαδή αν συμβαίνει όντως αυτό που εννοεί. Δεδομένου οτι μιλάμε για τις οικείες-μας αγελάδες και καμηλοπαρδάλεις, πρέπει να απαντήσουμε: «Όχι, η πρόταση είναι νοηματικά λάθος, γιατί στον οικείο κόσμο του πλανήτη-μας οι αγελάδες δεν τρώνε καμηλοπαρδάλεις.» Η ερμηνεία λοιπόν έκανε την πρόταση λάθος. Μπορεί βέβαια να μας πουν οτι, «Ξέρετε, στη γλώσσα-μας το “καμηλοπαρδάλεις” δεν σημαίνει μόνο τα γνωστά ζώα της Αφρικής, αλλά και ένα είδος χόρτου που βγαίνει εδώ στα μέρη-μας, που το τρώνε οι αγελάδες.» Τότε πρέπει να δεχτούμε οτι η πρόταση είναι νοηματικά σωστή. Ή, εναλλακτικά, μπορεί να μας πουν οτι η πρόταση λέχθηκε σε σενάριο βιβλίου επιστημονικής φαντασίας, όπου σε έναν άγνωστο πλανήτη οι “αγελάδες” όντως τρώνε τις εκεί “καμηλοπαρδάλεις”. Επομένως το αν η πρόταση είναι νοηματικά σωστή εξαρτάται από το αν ισχύουν αυτά που λέει, βάσει της ερμηνείας-της.

Παρόμοια, το αν η λογική πρόταση “κ(x) → π(x)” είναι νοηματικά σωστή εξαρτάται από την ερμηνεία-της. Αν το “κ” σημαίινει “κράτος” και το “π” σημαίνει “έχει πρωτεύουσα” (με τις οικείες-μας έννοιες περί κρατών και πρωτευουσών), τότε η πρόταση είναι νοηματικά σωστή. Αν το “κ” σημαίνει “κύτταρο” και το “π” σημαίνει “έχει πυρήνα”, τότε είναι νοηματικά λάθος. Βέβαια αν μας πουν οτι, «Ξέρετε, όταν λέμε “πυρήνας” δεν εννοούμε αυτό που εννοούν οι βιολόγοι, αλλά το DNA του κυττάρου», τότε θα δεχτούμε οτι η πρόταση είναι νοηματικά σωστή, αφού κάθε κύτταρο έχει DNA (είτε είναι βακτήριο είτε όχι). Βλέπουμε και πάλι οτι το “νοηματικά σωστή” εξαρτάται από την ερμηνεία.

Και τί είναι μια ερμηνεία; Πώς ορίζεται ο όρος αυτός;

Για τα όσα θα περιγράψουμε στο παρόν μάθημα, θα αρκεστούμε στο να πούμε οτι μια ερμηνεία είναι μια αντιστοίχιση των συμβόλων με έννοιες από έναν κόσμο όπου υπάρχουν οι έννοιες αυτές. Π.χ.,

• Στη φράση της φυσικής γλώσσας “λας βάκας κόμεν χιράφας”, μια ερμηνεία είναι η αντιστοίχιση που αναφέραμε και πρωτύτερα: {“λας”↔οι, “βάκας”↔αγελάδες, “κόμεν”↔τρώνε, “χιράφας”↔καμηλοπαρδάλεις}, όπου το αριστερό μέλος της αντιστοίχισης (↔) είναι σύμβολο (λέξη), και το δεξιό μέλος είναι έννοια παρμένη από έναν “κόσμο” (θα το λέμε σύμπαν) όπου υπάρχουν οι έννοιες αυτές.

• Στην πρόταση της λογικής “κ(x) → π(x)”, μια ερμηνεία είναι η αντιστοίχιση: {“κ”↔κράτος, “π”↔έχει πρωτεύουσα}· άλλη ερμηνεία είναι η αντιστοίχιση: {“κ”↔κύτταρο, “π”↔έχει πυρήνα}· τρίτη ερμηνεία η αντιστοίχιση: {“κ”↔έχει πυρετό, “π”↔μολύνθηκε με ιούς}· κλπ. Γενικά, μια ερμηνεία είναι όποια αντιστοίχιση θέλουμε μεταξύ συμβόλων της λογικής και εννοιών από ένα “σύμπαν”.

Σ Υ Ν Ε Χ Ι Ζ Ε Τ Α Ι . . .

Σημειώσεις:

(^) Στην πραγματικότητα ο κανόνας οτι μόνο ο Modus Ponens είναι απαραίτητος δεν είναι απόλυτα σωστός. Στα μαθηματικά χρησιμοποιούνται και άλλοι κανόνες ή μέθοδοι για απόδειξη, όπως η μέθοδος της μαθηματικής επαγωγής, ή η διαγωνιοποίηση στη θεωρία συνόλων. Πάντως και μόνο με τον Modus Ponens μπορεί κανείς να φτάσει αρκετά μακριά, τουλάχιστον στα στοιχειώδη θέματα μαθηματικών, και σίγουρα στα περισσότερα παραδείγματα μη μαθηματικών συλλογισμών.

(^) Απαντήσεις στην άσκηση 1:

1. κατηγόρημα

2. σταθερά

3. κατηγόρημα: “πατέρας”, με 2 παραμέτρους, τα: “Γιάννης” και “x”

4. μεταβλητή

5. πλανήτης (Γη)

6. πλανήτης (Γη) → περιστρέφεται (Γη)

7. πλανήτης (x) → περιστρέφεται (x)

Πίσω στη γενική σελίδα του Διαδικτυακού Επιστημονικού Πανεπιστημίου