Ancient Greek letter beta was pronounced as [b] (as in English bit) probably until the 2nd century CE. Its pronunciation started shifting to fricative [v] in various places at different times. Evidence for this comes from the following:
Cratinus (5th c. BC), in a surviving fragment of comedy (in Dionysalexandros) states the following: "o d' hliqios wsper probaton bh bh legwn badizei" (and the fool goes about like a sheep saying "ba ba"). If beta is pronounced as [b] and eta as long [e], we get the sound attributed to the animal by contemporary Greeks ("beeh-beeh"). If the letters are pronounced as in Modern Greek, we get "vi-vi", which does not sound like a sheep at all, by any stretch of the imagination.
Aristophanes (ca. 450 - ca. 388 BC), in a similar fashion says: "quein me mellei kai keleuei bh legein" (he is going to sacrifice me and tells me to say "ba"). He also uses the presumably alliterative phrase "pinein kai binein", which would be alliterative only if both initial letters (pi and beta) were of the same type, i.e., plosive (beta pronounced as fricative [v] would not work in this case).
Cicero (106 - 43 BC), identifies the pronunciation of "binei~" with that of the Latin bini.
Greek words containing the letter beta were transliterated to Latin using the letter b (Boeotia, Euboea, basis), although the fricative sound [v] existed in Latin (as consonantal u), and should have been chosen if beta had a fricative pronunciation.
Letters pi, beta, and phi, were called labial consonants by ancient Greek grammarians (and are still learned under this label in Greek elementary schools). Of these three, however, only pi is a true labial sound in Modern Greek, while beta and phi are labiodental. The term labial is accurate if beta was pronounced as [b], and phi as [ph] (aspirated [p]).
Greek grammarians (e.g., Dionysius Thrax) divide consonants into two primary categories: the aphona (beta, gamma, delta, kappa, pi, tau, theta, phi, and chi), and the hemiphona (zeta, ksi, psi, lambda, mu, nu, rho, sigma). In Aristotle's Poetics (1456b) the aphona (of which beta is a member) are described as "having contact" (= "meta prosboles"), but not being pronounceable without a vowel. In modern parlance we would say that aphona are the plosives, pronounced instantaneously, while hemiphona are fricatives, and those other consonants that can be pronounced continuously, without the need for a following vowel. If beta were fricative, it would be classified as one of the hemiphona.
The following is the translation of the above in Greek.
Το αρχαίο ελληνικό γράμμα βήτα προφέρονταν σαν [b] (όπως στη νεοελληνική λέξη μπορώ) πιθανώς μέχρι το 2ο αι. μ.Χ. Η προφορά του β άρχισε να μετακινείται προς το σημερινό [β] σε διαφορετικά μέρη της αρχαίας Ελλάδας κατά διαφορετικές εποχές. Ενδείξεις για τα παραπάνω προέρχονται από τα ακόλουθα:
Ο Κρατίνος (5ος αι. π.Χ.), σε ένα απόσπασμα Αθηναϊκής κωμωδίας (στο έργο Διονυσαλέξανδρος) λέει το παρακάτω: "ο δ' ηλίθιος ώσπερ πρόβατον βη βη λέγων βαδίζει". Εάν το βήτα προφέρονταν σαν [b] και το ήτα σαν μακρό [ε], παίρνουμε τον ήχο που αποδίδουμε στο ζώο στη σημερινή εποχή ("μπεε-μπεε"). Εάν τα γράμματα αυτά προφερθούν όπως στα νέα Ελληνικά, παίρνουμε έναν ήχο που σε καμιά περίπτωση δεν μοιάζει με αυτόν του προβάτου.
Ο Αριστοφάνης (περίπου 450 - 388 π.Χ.), με παρόμοιο τρόπο λέει: "θύειν με μέλλει καί κελεύει βη λέγειν" ("πρόκειται να με θυσιάσει και με προστάζει να πω μπεε"). Επίσης χρησιμοποιεί την υποτιθέμενη παρηχητική φράση "πίνειν και βίνειν", η οποία εμπεριέχει παρήχηση μόνο όταν και τα δύο αρχικά γράμματα (πι και βήτα) είναι του ίδιου τύπου· το βήτα προφερόμενο σαν νεοελληνικό [β] δεν προκαλεί παρήχηση σ' αυτή τη φράση.
Ο Κικέρων (106 - 43 π.Χ.), προσδιορίζει την προφορά του βινει~ με εκείνη του Λατινικού bini.
Ελληνικές λέξεις που περιείχαν το γράμμα βήτα μεταγλωττίστηκαν στα Λατινικά μέσω του γράμματος b (Boeotia, Euboea, basis), παρόλο που ο ήχος [β] υπήρχε στα Λατινικά (σαν συμφωνικό u, μετέπειτα γραφόμενο σαν v), και θα έπρεπε να προτιμηθεί αν το βήτα προφέρονταν όπως στα νέα Ελληνικά.
Τα γράμματα πι, βήτα, και φι, ονομάζονταν χειλικά σύμφωνα με τους αρχαίους Έλληνες γραμματιστές (και ακόμη μαθαίνονται σαν τέτοια στο Δημοτικό Σχολείο). Από τα τρία αυτά γράμματα, εντούτοις, μόνο το πι αντιστοιχεί σε πραγματικό χειλικό ήχο στα νέα Ελληνικά, ενώ τα βήτα και φι είναι χειλοοδοντικά. Ο όρος χειλικά είναι ακριβής αν το βήτα προφέρονταν σαν [b], και το φι σαν [πh] (δασύ [π], δηλ. [π] ακολουθούμενο από δασεία).
Οι γραμματιστές (π.χ. ο Διονύσιος ο Θραξ) χωρίζουν τα σύμφωνα σε δύο κύριες κατηγορίες: στα άφωνα (β, γ, δ, κ, π, τ, θ, φ, χ), και στα ημίφωνα (ζ, ξ, ψ, λ, μ, ν, ρ, σ). Ο Αριστοτέλης περιγράφει τα άφωνα (στα οποία ανήκει το β) σαν ήχο που "έχει επαφή" ("μετά προσβολη~ς") αλλά που δεν μπορεί να προφερθεί χωρίς να ακολουθείται από φωνήεν. Σήμερα θα λέγαμε οτι τα αρχαία Ελληνικά άφωνα είναι τα στιγμιαία σύμφωνα, ενώ τα ημίφωνα είναι τα συνεχή σύμφωνα, δηλ. εκείνα που μπορούμε να τα προφέρουμε συνεχώς, χωρίς να χρειάζεται η προσθήκη φωνήεντος. Εάν το β ήταν συνεχές, όπως σήμερα, θα κατηγοριοποιούνταν σαν ένα από τα ημίφωνα.
References:
Most of the information above (and even further details) can be found in W. Sidney Allen's Vox Graeca: a Guide to the Pronunciation of Classical Greek. Cambridge University Press, 3rd edition, 1987.
An additional source is: Edgar H. Sturtevant's The Pronunciation of Greek and Latin. Linguistic Society of America, University of Pennsylvania, Philadelphia, 2nd edition, 1940.