Μεγάλοι Αριθμοί

Το κείμενο αυτό γράφτηκε σαν συνέχεια ενός απλούστερου που ο συγγραφέας είχε γράψει για μαθητές της ελληνικής γλώσσας.

This text is unfortunately untranslatable in English (or other languages): it examines the ability of Modern Greek to express large numbers.

Αναρωτηθήκατε ποτέ ποιος είναι ο μεγαλύτερος αριθμός που μπορείτε να ονομάσετε; Καλά, όλοι ξέρουμε οτι οι αριθμοί δεν έχουν τέλος. Η γραφή των αριθμών όμως, μήπως εκείνη έχει τέλος;

Όταν ήμουν τεσσάρων χρονών, το έκανα γούστο να μετράω. Από το ένα μέχρι όσο να βαρεθώ. Επειδή όμως η γνωστή μέθοδος του μετρήματος (που είχα πια μάθει) μου επέτρεπε να φτάσω σε νούμερα που ξεπερνούσαν ακόμα και την απύθμενη έλλειψη βαρεμάρας ενός νηπίου, κάποτε έκανα την κρίσιμη ερώτηση: «μαμά, ποιός είναι ο πιο μεγάλος αριθμός;» (Με άλλα λόγια: «άντε, κοντεύουμε να φτάσουμε;») Εκείνη μου απάντησε οτι δεν υπάρχει αριθμός πιο μεγάλος απ’ όλους τους άλλους, γιατί «όποιον αριθμό και να σκεφτείς, μπορείς να του προσθέσεις ένα, και να τον κάνεις ακόμα μεγαλύτερο.» Έτσι μου έγινε η εισαγωγή στη μαθηματική επαγωγή, και στην έννοια του απείρου.

Αργότερα, παρά το οτι στο σχολείο μου μάθανε ποιες είναι οι ασύμπτωτες μιας ρητής συνάρτησης, και πώς αποδεικνύουμε οτι οι μεσοκάθετοι ενός τριγώνου συναντώνται στο κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου, εμένα το ερώτημα μου έμεινε στο ξερό-μου το κεφάλι: ρε παιδιά, ποιος είναι ο πιο μεγάλος αριθμός που μπορείτε να πείτε με το στόμα-σας;

Οι συμμαθητές-μου νόμιζαν οτι είμαι τελείως βλάκας. Μου έδιναν την απάντηση της μητέρας-μου, μονάχα επί το συμμαθητηκότερον: «Αφού ρε μ...α, όποιον αριθμό και να μου πεις, εγώ μπορώ να σου πω εκείνον-και-ένα! Τι μ...ς που είσαι ρε μ...α!»

Καλά ρε παιδιά, μη βαράτε όλοι μαζί! Δεν εννοώ αυτό. Εντάξει, μπορείτε να πείτε εκείνον-και-ένα. Αλλά μετά το “εκείνον”, έχετε λέξη για το παρακάτω; Αφού οι συστατικές λέξεις που έχουμε για να ονομάζουμε αριθμούς είναι περιορισμένες. Άρα, πόσο μακριά νομίζετε πως μπορείτε να φτάσετε πριν σας βγει η γλώσσα από την επανάληψη μέχρις αηδίας των ίδιων και των ίδιων λέξεων;

Κανένας δεν καταλάβαινε τον πόνο-μου. Το χειρότερο, κι εγώ ο ίδιος που με καταλάβαινα απολύτως, δεν μπορούσα να φτάσω και πολύ μακριά στη διαδρομή, έμενα πάντοτε από βενζίνηλέξεις, δηλαδή.

Κάποτε έμαθα οτι ο Αρχιμήδης, στην αρχαιότητα, είχε λέει ασχοληθεί με το ίδιο ερώτημαορίστε, βλέπετε; καμιά φορά τα μεγάλα πνεύματα συναντάνε τα μικράκαι είχε φτάσει να περιγράψει έναν αριθμό που αν τον γράφαμε στη σημερινή γραφή θα ήταν το 1 ακολουθούμενο από 80 τετράκις εκατομμύρια μηδενικά. Σιγά τ’ αβγά! (Σκέφτηκα όταν το πρωτοάκουσα.) Και γιατί σταμάτησε εκεί ο άνθρωπος; Βαρέθηκε;

Όχι, δεν βαρέθηκε. Όπως έμαθα αργότερα, έπαθε αυτό που παθαίνουν όλοι όσοι ξεκινάνε για το άπειρο: ξέμεινε από βενζίνη. Δημιούργησε μεν στην πορεία δικές-του λέξεις για αριθμούς, αλλά κάποια στιγμή η γλώσσα παραδίδει το πνεύμα στο άπειρο. (Ακόμα και η μαθηματική γραφή με ψηφία παραδίδει το πνεύμαδιαβάστε παρακάτω και θα δείτε.)

Για να μην τα πολυλογώ, αυτό που θα δείτε πιο κάτω είναι η δική-μου πορεία προς το άπειρο. Ξέρω πολύ καλά οτι παρόμοια πορεία έχουν κάνει και πολλοί άλλοι, αλλά ποσώς με απασχολείδικιά-μου η σελίδα, στο κάτω-κάτω, δική-μου κι η πορεία. Όποιος θέλει ας μ’ ακολουθήσει. Για τους υπόλοιπους, υπάρχει και το κουμπί που γράφει “Πίσω”.

Λοιπόν, ξεκινάμε με τα τετριμμένα:

Πώς σας φαίνεται το “εικοσιάπαξ”; Ε, πώς αλλιώς να πούμε “εικοσιένα φορές” ακολουθώντας το σύστημα; άπαξ, δις, τρις,... Εικοσιάπαξ, λοιπόν.

Παρεμπιπτόντως, ο τελευταίος αριθμός στη λίστα, είναι λέει κοντά στο συνολικό αριθμό των στοιχειωδών σωματιδίων (πρωτονίων, ηλεκτρονίων, κλπ.) του παρατηρήσιμου μέρους του σύμπαντος. Αν νομίζετε οτι η σελίδα αυτή γράφτηκε για να δούμε πώς μετράμε πράγματα που υπάρχουν, σας πληροφορώ οτι τα υπαρκτά μόλις μας τελείωσαν. Με το καλημέρα! Απαλλαγμένοι λοιπόν από τα εγκόσμια και υπαρκτά, προχωράμε τώρα στα απόκοσμα και ανύπαρκτα.

Κάπου εδώ αρχίζει και φαίνεται η επαναληπτικότητα του σχεδίου: κάθε φορά που εισάγονται έξι μηδενικά στον εκθέτη (000.000), προτίθεται κι ένα εκατομμυριάκις στην ονομασία του αριθμού. Οπότε:

Ναι, αλλά έτσι δεν μπορούμε να πάμε μακριά. Έτσι την πάτησε ο Αρχιμήδης. Ο παραπάνω αριθμός, παρεμπιπτόντως, είναι ελαφρώς μεγαλύτερος από τον μεγαλύτερο του Αρχιμήδη: είναι το 1 ακολουθούμενο από 3 πεντάκις εκατομμύρια (και τρία) μηδενικά. Αυτό δεν σημαίνει οτι είμαστε έξυπνοι εμείς, απλώς επωφελούμαστε από το πιο μοντέρνο σύστημα ονομασίας που διαθέτουμε.

Λοιπόν, αν συνεχίσουμε έτσι, οι ονομασίες θα γίνουν μακαρόνια. Η μαθηματική γραφή δεν έχει (ακόμα) πρόβλημα, γιατί θα φτιάξουμε εκθέτη πάνω στον εκθέτη (θα συμπτύξουμε τα μηδενικά δηλαδή), αλλά με τα γλωσσικά μακαρόνια τι γίνεται; Αυτό είναι που εννοούσα προηγουμένως όταν έλεγα οτι θα μείνουμε από βενζίνη.

Οι πολιτισμοί, τώρα που διαπιστώνουν οτι μένουν από καύσιμα, προσπαθούν ν’ ανακαλύψουν εναλλακτικές μορφές ενέργειας. Στο ίδιο πνεύμα λοιπόν, προτείνω το εξής απλό: να συμπτύξουμε το “εκατομμυριάκις εκατομμυριάκις” με το νέο όρο “διπλεκατομμυριάκις”. Κι αν είναι τρεις οι επαναλήψεις του προθέματος “εκατομμυριάκις”, τότε “τριπλεκατομμυριάκις”. Και ούτω καθεξής. Σκέφτεστε κάτι καλύτερο; Αν ναι, πείτε-μου. Αν όχι, ιδού η συνέχεια:

Μικρό διάλειμμα: Ο αριθμός “ένα δεκαεπταπλεκατομμυριάκις εκατομμύριο”, ήτοι 10^3·10102+3, είναι ελαφρώς μεγαλύτερος από αυτόν που στα αγγλικά λένε 1 googolplex, ήτοι τον 10¹⁰¹⁰⁰. Συνεχίζουμε.

Κάτι πρέπει να κάνουμε επιτέλους με τους εκθέτες των εκθετών. Κανένα πρόβλημα (ακόμα): τους συμπτύσσουμε με επιπλέον εκθέτες.

Ας συμπτύξουμε για μια ακόμα φορά τους εκθέτες πριν παραμακρύνουν, οπότε ο αριθμός:
10^{3·106·103.000.000.000.003+3} γράφεται σαν: 10^{3·106·103·1012+3+3}.
Αλλά και η ονομασία συμπτύσσεται, όπως κάναμε προηγουμένως: αντί για “εκατομμυριάκις εκατομμυριάκις”, μπορούμε να γράψουμε “διπλεκατομμυριάκις”. (Αφού το κάναμε μια φορά, μπορούμε να το κάνουμε και δεύτερη.) Η πρώτη γραμμή στη λίστα που ακολουθεί είναι επανάληψη της τελευταίας γραμμής της προηγούμενης λίστας, αλλά με τις απαραίτητες συντμήσειςκαι η λίστα συνεχίζεται.

Εδώ σταματάμε να πάρουμε μια (χρήσιμη) ανάσα. Όπως βλέπουμε, υπάρχει επανάληψη τόσο στο σχέδιο των εκθετών, όσο και στο πρόθεμα “εκατομμυριαπλεκατομμυριάκις” της ονομασίας. Συγκεκριμένα, κάθε φορά που το 3·10^6.000.000+3 εμφανίζεται “φωλιασμένο” μέσα στους εκθέτες, σαν εκθέτης του 6·10, το πρόθεμα “εκατομμυριαπλεκατομμυριάκις” προστίθεται στην ονομασία (δείτε παραπάνω το “εκατομμυριαπλεκατομμυριάκις εκατομμύριο” σημειωμένο με κόκκινο στον πίνακα).

Άρα, αντί να συνεχίζουμε έτσι σαν τον σαλίγκαρο, μπορούμε να προχωρήσουμε με μεγαλύτερα βήματα (σαν της χελώνας, ας πούμε). Μπορούμε να συμπτύξουμε τα πολλαπλά “εκατομμυριαπλεκατομμυριάκις”, αλλά δεν πρέπει να το κάνουμε όπως πριν, δηλαδή μ’ ένα πρόθεμα διπλ-, για δύο λόγους: Πρώτο, οι λέξεις καθαυτό θα καταντήσουν να γίνουνε σπαγγέτι (σκεφτήτε: εκατομμυριαπλεκατομμυριαπλεκατομμυριάκις!), και είμαστε εναντίον της ιταλοποίησης της ελληνικής γλώσσας. Και δεύτερο, γιατί το ποιόν της επανάληψης έχει τώρα αλλάξει. Δεν πρόκειται τώρα για απλή συνέχιση των εκθετών προς τα πάνω και δεξιά, αλλά για φωλιασμένη συνέχιση (λόγω του καταληκτικού +3). Άρα προτείνω το εξής:

Να συμπτύξουμε τα πολλαπλά “εκατομμυριαπλεκατομμυριάκις” με ένα νέο συστατικό καύσιμο. Συγκεκριμένα, τα δύο εκατομμυριαπλεκατομμυριάκις να γίνουν “διπλό εκατομμυριαπλεκατομμυριάκις”, τα τρία στη σειρά να γίνουν “τριπλό εκατομμυριαπλεκατομμυριάκις”, και ούτω καθεξής.

Ναι, αλλά μισό λεπτό. Τώρα έχουν πρόβλημα οι εκθέτες! Καθώς θα προχωράμε στο πενταπλό, εξαπλό, κλπ., θα μεγαλώνει το “τόξο” στην εκθετική γραφή, και πριν προλάβουμε να φτάσουμε λίγο παρακάτω η γραφή αυτή θα γίνει αδύνατο να παρασταθεί στη σελίδα. Κάτι πρέπει να κάνουμε και με τη μαθηματική γραφή (έμεινε κι αυτή από καύσιμα).

Ε, τώρα πρέπει να λύσουμε το πρόβλημα από μαθηματική σκοπιά, αντί για γλωσσολογική. Κάνουμε το εξής:

Ορίζουμε μια συνάρτηση Ε(x), σκοπός της οποίας είναι να “κατασκευάζει” την παράσταση. Δηλαδή,

για x = 1, η Ε(1) κατασκευάζει το 10^{3·106.000.000+3}, που είναι η παράσταση του “απλού” εκατομμυριαπλεκατομμυριάκις εκατομμύριου. Παρόμοια,
για x = 2, η Ε(2) κατασκευάζει το 10^{3·106·103·106.000.000+3+3} , δηλ. την παράσταση του διπλού εκ/κις εκατομμύριου,
για x = 3, η Ε(3) κατασκευάζει το 10^{3·106·103·106·103·106.000.000+3+3+3} , δηλ. την παράσταση του τριπλού εκ/κις εκατομμύριου,

και ούτω καθεξής. Αν αναρωτιέστε πόσο δύσκολο είναι να κατασκευαστεί η Ε(x), η απάντηση είναι οτι οποιοσδήποτε φοιτητής έχει μάθει να γράφει αναδρομικούς ορισμούς προγραμμάτων, μπορεί να φτιάξει το παραπάνω σαν προγραμματάκι στον υπολογιστή, σε ένα εκατομμυριαπλεκατομμυριοστό του δευτερολέπτου. Στοιχειώδη πράματα. Συνεχίζουμε λοιπόν, οπλισμένοι με τη συνάρτησή-μας Ε(x), και την “πολλαπλότητα” στη γλώσσα.

(Βέβαια, σαν αποτέλεσμα, χάνουμε την αίσθηση του “νούμερου” του αριθμού. Γιατί άλλο είναι ν’ αναγράφεται ολογράφως ο εκθέτης, όπως παραπάνω, και άλλο Ε(x), όπου x η πολλαπλότητα. Αλλά τι να κάνουμε, μην τα θέλουμε όλα δικά-μας!)

Όπου στην τελευταία σύντμηση εφαρμόσαμε τον κανόνα που έχουμε ήδη εφαρμόσει: οτι το “εκατομμυριάκις εκατομμυριάκις” το γράφουμε σαν “διπλεκατομμυριάκις”.

Εδώ πλέον παρατηρούμε οτι συντομεύοντας τα μηδενικά σε εκθέτες, θ’ αποκτήσουμε το ίδιο πρόβλημα που είχαμε και πριν, με τα “τόξα” εκθετών. Συγκεκριμένα,

(Από ’δώ και πέρα το χρώμα θα υποδηλώνει την αντιστοιχία παραστάσεων και λέξεων.)

Αλλά αφού λύσαμε το πρόβλημα μία φορά, είναι σαν να τό ’χουμε λύσει κατ’ επανάληψη. Χρησιμοποιούμε την Ε(x) και πάλι, γράφοντας:

Ε(10^{3·106.000.000+3}) = Ε(E(1))

Άρα,

Συνεπώς,

Κάθε κλείσιμο λοιπόν της τρέχουσας παράστασης με ένα Ε(x) εξωτερικά, προκαλεί εισαγωγή του “εκατομμυριαπλό εκατομμυριαπλεκατομμυριάκις” από αριστερά στη λεκτική περιγραφή. Άρα... «Εδώ ήρθαμε, πά’ να φύγουμε!...» Το είδαμε αυτό το έργο και πριν: μπορούμε να ορίσουμε μια άλλη (απλούστατη) συνάρτηση F, που θα κατασκευάζει αναδρομικά τη φωλιασμένη παράσταση με τα Ε. Όπως επίσης μπορούμε να βρούμε και κάποιον άλλο λεκτικό συμψηφισμό των επαναλαμβανόμενων “εκατομμυριαπλό εκατομμυριαπλεκατομμυριάκις”, που ν’ αντιστοιχεί στο όρισμα της συνάρτησης F.

Αλλά δυστυχώς, η επανάληψη της μεθόδου που κάποτε φάνηκε σαν καινοτομία, κάνει την καινοτομία βαρετή (ή με πιο απλά λόγια: «το πολύ το κυρελέησον το βαριέται κι ο παπάς»). Γιατί και πάλι θα καταλήξουμε στις φωλιασμένες παραστάσεις μέσα στην F, που θα τις συντμήσουμε με μια συνάρτηση G, όπως επίσης πάλι θα συντμήσουμε τα λεκτικά προθέματα με άλλα προθέματα... εις τους αιώνας των αιώνων αμήν. Σε μια τέτοια θέση ίσως να βρέθηκε κι ο παππούς ο Αρχιμήδης (πολύ νωρίτερα ο άνθρωπος, είπαμε, γιατί έπρεπε να κοπιάσει πολύ περισσότερο καί λόγω γλώσσας καί λόγω συμβόλων). Ε, το ξέραμε από την αρχή: κάπου θα μέναμε από καύσιμα, καταμεσής στην έρημο. Μάλλον εδώ είναι το σημείο. Οπότε τώρα, ρίχνοντας μια τελευταία ματιά προς το άπειρο των αριθμών που απλώνεται μπροστά-μας ως τον ορίζοντα, ας κάνουμε μεταβολή κι ας γυρίσουμε πίσω, για να επιστρέψω κι εγώ και να πω στους πρώην συμμαθητές-μου: «Αυτό εννοούσα ρε...“φίλοι-μου αγαπημένοι”»!

–Χάρης Φουνταλής.