Ευκλείδου Στοιχεία

Ο Ευκλείδης είναι ο συγγραφέας του έργου Στοιχεία, της καθοριστικής σημασίας εργασίας στην κλασική γεωμετρία, που σήμερα έχει το όνομά του: την ονομάζουμε “Ευκλείδεια γεωμετρία”, για να την ξεχωρίζουμε από άλλες, μη-Ευκλείδειες γεωμετρίες, που αναπτύχθηκαν κατά τον 19^ο αιώνα.

Σχεδόν τίποτε δεν είναι γνωστό για τον Ευκλείδη, εκτός του οτι έζησε στην Αλεξάνδρεια της Αιγύπτου, επί ηγεμόνος Πτολεμαίου του 1^ου (323 π.Χ. – 283 π.Χ.). Δραστηριοποιήθηκε στη μεγάλη Βιβλιοθήκη της Αλεξάνδρειας, και πιθανώς υπήρξε μελετητής στην Ακαδημία του Πλάτωνα, στην Αθήνα.

Τα Στοιχεία αποτελούνται από 13 βιβλία, μερικά από τα οποία πραγματεύονται τομείς των μαθηματικών που σήμερα ονομάζουμε άλγεβρα και θεωρία αριθμών, αλλά οι αρχαίοι Έλληνες πλησίασαν αυτά τα θέματα πάντοτε από γεωμετρική σκοπιά. Τα Στοιχεία πραγματεύονται σημαντικά θέματα στην γεωμετρία του επιπέδου όπως: το Πυθαγόρειο θεώρημα, ισότητα τριγώνων, γωνίες και σχέσεις-τους με τρίγωνα, γωνίες και τρίγωνα εγγεγραμμένα σε κύκλο, εφαπτόμενες, ευθείες, περιγεγραμμένοι κύκλοι, πολύγωνα, το θεώρημα του Θαλή, η χρυσή αναλογία, κ.ά. πολλά.

Στην άλγεβρα και αριθμοθεωρία, τα θέματα περιλαμβάνουν τη διαιρετότητα, τους πρώτους αριθμούς, το μέγιστο κοινό διαιρέτη (με τον περίφημο αναδρομικό “Ευκλείδειο αλγόριθμο”), το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο, παραγοντοποίηση σε πρώτους, απόδειξη του απειραρίθμου των πρώτων, τέλειους αριθμούς, γεωμετρικές ακολουθίες, αθροίσματα γεωμετρικών σειρών, άρρητους αριθμούς, κ.ά.

Τέλος, στη γεωμετρία στερεών, τα θέματα περιλαμβάνουν καθετότητα και παραλληλία σε τρεις διαστάσεις, επιφάνειες και όγκους παραλληλεπιπέδων, κώνων, πυραμίδων, κυλίνδρων, πρισμάτων, και της σφαίρας, τα κανονικά (Πλατωνικά) πολύεδρα εγγεγραμμένα σε σφαίρα, κ.ά.

Εκτός του οτι υπήρξε βασικό έργο αναφοράς για τη γεωμετρία και τη θεωρία αριθμών, μια άλλη, πολύ σπουδαία συνεισφορά των Στοιχείων ήταν οτι έκανε κατανοητή την αξιωματική μέθοδο και τη λογική συνεπαγωγή (την απόδειξη συμπερασμάτων από υποθέσεις), τα οποία έγιναν κτήμα του υποσυνειδήτου της Δυτικής σκέψης στους αιώνες που ακολούθησαν. Όταν σήμερα λέμε: «Μπορείς να το αποδείξεις;» αυτό που εννοούμε είναι, στην ιδεατή περίπτωση, να ξεκινήσει κανείς από κάποιες αναμφισβήτητες υποθέσεις (π.χ. επαληθεύσιμα γεγονότα), και, κάνοντας μόνο λογικές συνεπαγωγές, να αποδείξει τη ζητούμενη πρόταση συμπερασματικά, όπως αποδεικνύονται οι προτάσεις στα Στοιχεία. Στην πραγματικότητα φυσικά αυτό δεν μπορεί να γίνει με μαθηματική ακριβολογία σχεδόν ποτέ, αλλά είναι η ιδεατή κατάσταση αυτής της διαδικασίας που ενστερνίστηκε η Δυτική σκέψη μέσω των στοχαστών-της, κυρίως χάρη στα Στοιχεία.

Οι αποδείξεις του Ευκλείδη δεν είναι πάντα άρτιες, γιατί σε μερικές περιπτώσεις κάνει χρήση προτάσεων που φαίνονται “προφανείς”, αλλά που δεν τις έχει αναφέρει (ή αποδείξει) μέχρι το σημείο εκείνο. Αυτό εντούτοις είναι αναπόφευκτο, όπως καθένας με εμπειρία στον τομέα της αυτόματης απόδειξης θεωρημάτων γνωρίζει: αν θέλει κανείς να παρουσιάσει μια πλήρη απόδειξη οποιασδήποτε μη-τετριμμένης πρότασης, ο αληθινός αριθμός προτάσεων που η απόδειξη πρέπει να κάνει χρήση είναι τόσο μεγάλος που ξεπερνά την ικανότητα του ανθρώπινου νου να διατηρεί μια πλήρη εικόνα — γιαυτό μόνο μηχανές μπορούν να χειριστούν κάποιες τέτοιες πλήρεις αποδείξεις. Ο Ευκλείδης έκανε απλοποιήσεις, όπως είναι υποχρεωμένος να κάνει και κάθε δάσκαλος που διδάσκει τη γεωμετρία στο σχολείο.

Ο συγγραφέας της παρούσας ιστοσελίδας έχει μεταφράσει την εισαγωγή των Στοιχείων του Ευκλείδη στα αγγλικά και νέα ελληνικά· συγκεκριμένα, τους ορισμούς και τα αξιώματα. Τη μετάφρασή του μπορείτε να τη βρείτε στο πρόγραμμα για Windows Κλασικός Αναγνώστης (που μπορείτε να καταβιβάσετε και να εγκαταστήσετε στο PC-σας).